Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
（1）求證：f（x）是周期為4的周期函數；
（2）若f（x）= （0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]時，函數f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，

有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．

又函數f（x）是定義在R上的奇函數，故有f（﹣x）=﹣f（x）．

故f（x+2）=﹣f（x），從而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期為4的周期函數

（2）解：由函數f （x）是定義在R上的奇函數，可知f（0）=0．

x∈[﹣1，0）時，﹣x∈（0，1]，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣ ．

故x∈[﹣1，0]時，f（x）=﹣ ．

x∈[﹣5，﹣4]時，x+4∈[﹣1，0]，f（x）=f（x+4）=﹣ ．

從而，x∈[﹣5，﹣4]時，函數f（x）的解析式為f（x）=﹣

【解析】(1)由題意圖象關于直線x=1對稱，得出f（﹣x）=f（x+2），再根據函數的奇偶性得到f（x+2）=﹣f（x）進而f（x+4）=f（x）故得到周期。（2）當x∈[﹣1，0）時，﹣x∈（0，1]，由函數的奇偶性得到f（x）=﹣f（﹣x）=- ,再根據函數的周期性得出x∈[﹣5，﹣4]時的函數f（x）的解析式。