Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

（Ⅰ）由已知得，，故     4分
（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時．
因為直線與圓M相切，故其中的一條切線方程為．
由不妨設，，
則以AB為直徑的圓的方程為，顯然過原點．      6分
②當直線的斜率存在時．
設直線的方程為．因為直線和圓M相切，所以圓心到直線的距離，整理，得， ①
由消去，得，
所以設，，則，．
所以．
所以．②
將①代入②，得，顯然以AB為直徑的圓經過定點O(0，0)
綜上可知，以AB為直徑的圓過定點(0，0)．（13分）       12分
【考點定位】本題考查橢圓的標準方程以及簡單幾何性質、圓的切線等基礎知識，意在考查學生運用數形結合思想、轉化與化歸思想以及綜合分析問題解決問題的能力以及運算能力．