Question

【題目】已知f（x）= ，g（x）=ax3﹣x2﹣x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）的圖象C在x=﹣ 處的切線方程是y= ．
（1）若求a，b的值，并證明：當x∈（﹣∞，2]時，g（x）的圖象C上任意一點都在切線y= 上或在其下方；
（2）求證：當x∈（﹣∞，2]時，f（x）≥g（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：g'（x）=3ax2﹣2x﹣1，

因為g（x）=ax3﹣x2﹣x+b的圖象C在 處的切線方程是 ，

所以 ，即 ，解得a=1．

因為圖象C過點 ，所以 ，解得 ．

要證明：當x∈（﹣∞，2]時，g（x）的圖象C上任意一點都在切線 上或在其下方，

只要證明：當x∈（﹣∞，2]時， ．

令 ，

，令 ，得 ，

驗證得 ，

所以x∈（﹣∞，2]， 成立，

所以當x∈（﹣∞，2]時，g（x）的圖象C上任意一點都在切線 上或在其下方

（2）解：只要證明：x∈（﹣∞，2]， ．

x∈（﹣∞，2]，令 ，

，令 ，

當 時，h'（x）＜0，當 時，h'（x）＞0，所以 ，

所以x∈（﹣∞，2]， 成立，

又由（1）得，x∈（﹣∞，2]， ，

所以x∈（﹣∞，2]， ，

所以x∈（﹣∞，2]，f（x）≥g（x）．

【解析】（1）求出函數的導數，根據 ，求出a的值，圖象C過點 ，求出b的值，問題轉化為證明當x∈（﹣∞，2]時， ，根據函數的單調性證明即可；（2）問題轉化為證明x∈（﹣∞，2]， ，構造函數g（x），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．