Question

關于x的不等式的解集為（-1，n）．
（1）求實數m、n的值；
（2）若z₁=m+ni，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂為純虛數，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二階矩陣的計算法則把原不等式化簡，然后根據解集為（-1，n），利用韋達定理列出關于m和n的方程，求出方程的解即可得到m與n的值；
（2）把（1）中求出的m與n的值代入到z₁=m+ni中確定出z₁，然后利用復數的乘法法則表示出z₁z₂，令實數部分等于0即可得到tanα的值，把所求的式子利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將tanα的值代入即可求出值．
解答：解：（1）原不等式等價于（x+m）x-2＜0，即x²+mx-2＜0（3分）
由題意得，解得m=-1，n=2．（5分）
（2）z₁=-1+2i，z₁z₂=（-cosα-2sinα）+i（2cosα-sinα）（7分）
若z₁z₂為純虛數，則cosα+2sinα=0，即（9分）
所以=（12分）
點評：此題考查學生掌握二階矩陣及復數的運算法則，靈活運用韋達定理及兩角和與差的正切函數公式化簡求值，是一道中檔題．