Question

已知橢圓

x=4cosθ y=5sinθ

上兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)為A、C，且B為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形△ABC面積的最大值與最小值．

Answer 1

分析：先根據(jù)sin²θ+cos²θ=1消去參數(shù)t，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b、c，求出直線AC的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高的最值，從而求出三角形△ABC面積的最大值與最小值．

解答：解：依題意，橢圓的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=5sinθ

（θ∈R），
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

25

+

x2

16

=1
即焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為8
∴a=5，b=4，c=3
AC=

41

，直線AC的方程為5x+4y-20=0
點(diǎn)B到直線的距離為

|20cosθ+20sinθ-20|

41

=

20| 2 sin(θ+ π 4 )-1|

41

∴點(diǎn)B到直線的距離的最大值為

20( 2 +1)

41

，最小值為0
∴三角形△ABC面積的最大值為10（

2

+1），最小值為0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式等有關(guān)知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．