Question

【題目】甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者對本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為 ，乙隊中3人答對的概率分別為 ，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．
（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且 ， ， ， ．

所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

ξ的數學期望為 ．

解法二：根據題設可知， ，

因此ξ的分布列為 ，k=0，1，2，3．

因為 ，所以 ．

（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又 = ， ，

由互斥事件的概率公式得 ．

解法二：用Ak表示“甲隊得k分”這一事件，用Bk表示“乙隊得k分”這一事件，k=0，1，2，3．

由于事件A3B0，A2B1為互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）．

由題設可知，事件A3與B0獨立，事件A2與B1獨立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）= ．

【解析】（1）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，求出相對應的概率列出分布列即可，解法二：根據題設可知， ξ ～ B ( 3 ， ),E ξ = 3 × = 2,（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，互斥事件的概率公式得 P ( A B )，解法二：用Ak表示“甲隊得k分”這一事件，用Bk表示“乙隊得k分”這一事件，可計算出概率.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．