Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ，g（x）=ax+b．
（1）若函數h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）若直線g（x）=ax+b是函數f（x）=lnx﹣ 圖象的切線，求a+b的最小值；
（3）當b=0時，若f（x）與g（x）的圖象有兩個交點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求證：x1x2＞2e2 ．
（取e為2.8，取ln2為0.7，取 為1.4）

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）= ，則 ，

∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴對x＞0，都有 ，

即對x＞0，都有 ，

∵ ，∴a≤0，

故實數a的取值范圍是（﹣∞，0]

（2）解：設切點 ，則切線方程為 ，

即 ，亦即 ，

令 ，由題意得 ，

令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，則 ，

當t∈（0，1）時，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調遞減；

當t∈（1，+∞）時，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調遞增，

∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值為﹣1

（3）證明：由題意知 ， ，

兩式相加得 ，

兩式相減得 ，

即 ，

∴ ，

即 ，

不妨令0＜x1＜x2，記 ，

令 ，則 ，

∴ 在（1，+∞）上單調遞增，則 ，

∴ ，則 ，

∴ ，

又 ，

∴ ，即 ，

令 ，則x＞0時， ，

∴G（x）在（0，+∞）上單調遞增，

又 ，

∴ ，

則 ，即

【解析】（1）要使h（x）在（0，+）上單調遞增，則在（0，+）內h'（x）0恒成立；（2）設出切點坐標，寫出切線方程，構造函數a+b==-lnt+t2-t-1，利用導數討論函數的單調性，進而求出的最小值；（3）構造函數F（t）=lnt-，根據函數F（x）的單調性可知lnt，構造函數G（x）=lnx-，并利用導數討論G（x）的單調性.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．