Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若函數僅在處取得極值，求實數的取值范圍；

（2）若函數有三個極值點，，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

(1)，因為僅在處取得極值，則.再對a 分類討論，利用數形結合分析得到a的取值范圍；(2)由題得，由題意則有三個根，則有兩個零點，有一個零點，，再利用分析法證明.

解：（1）由，得，

由僅在處取得極值，則，即.

令，則，當單調遞減，單調遞增，

則，

∴當時，，此時僅一個零點，

則僅一個為極值點，

當時，與在同一處取得零點，此時，，

，，

∴僅一個零點，則僅一個為極值點，所以a=e.

當a＞e時，顯然與已知不相符合.

∴.

（2）由，則.

由題意則有三個根，則有兩個零點，

有一個零點，，

令，則，

∴當時取極值，時單調遞增，

∴，則時有兩零點，，且，

若證：，即證：，

由，，則，

即證： ，

由在上單調遞增，即證：，

又，則證，

令，，

∴ .

∴恒成立，則為增函數，

∴當時，，

∴得證.