Question

已知：函數f（x）=x²+4x+3 （x∈R），g（x）與f（x）圖象關于直線x=1對稱．
（1）求g（x）；
（2）如果關于x的不等式 g（x）≥g（a）-4的解集為全體實數，求a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y）為y=g（x）上任一點，由已知中g（x）與f（x）圖象關于直線x=1對稱，可得P（x，y）關于x=1的對稱點P′（2-x，y）在y=f（x）的圖象上，滿足y=f（x）的解析式，代入整理即可得到函數g（x）的解析式
（2）解法一：由（1）中結論，我們g（x）的最小值為-1，故可由g（x）≥g（a）-4的解集為全體實數，構造出一個關于a的不等式g（a）-4≤-1，解不等式即可得到答案；
解法二：由關于x的不等式 g（x）≥g（a）-4的解集為全體實數，根據二次不等式恒成立的充要條件，我們可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可得a的最大值．
解答：解：（1）設P（x，y）為y=g（x）上任一點，（1分）
∵y=g（x）與y=f（x）關于x=1對稱，
∴P（x，y）關于x=1的對稱點P′（2-x，y）在y=f（x）的圖象上，（3分）
∵f（x）=x²+4x+3
∴y=（2-x）²+（2-x）+3=x²-8x+15
即g（x）=x²-8x+15（2分）
（2）解法一：由關于x的不等式 g（x）≥g（a）-4的解集為全體實數，
又因為g（x）的最小值為-1（2分）
即：g（a）-4≤-1（3分）
a²-8a+15-4≤-1
a²-8a+12≤0
2≤a≤6（2分）
a的最大值6（1分）
解法二：由g（x）≥g（a）-4
得：x²-8x+15≥a²-8a+15-4（1分）
x²-8x-（a²-8a-4）≥0（1分）
因為不等式的解集為全體實數
即：△=64-4（a²-8a-4）≤0（3分）
a²-8a+12≤0（1分）
2≤a≤6（1分）
a的最大值6（1分）
點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，函數解析式的求解及常用方法，函數恒成立問題，其中（1）中坐標法，求曲線的軌跡方程時，最常用的方法，一定要熟練掌握．