Question

（2012•江門一模）已知函數f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數．
（1）求函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線l的方程，并證明函數y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方；
（2）討論函數y=f（x）零點的個數．

Answer 1

分析：（1）已知f（x）=lnx-ax+1，對你進行求導，根據導數和斜率的關系，求出切線的方程；
（2）令y=0，進行變形lnx=ax-1，利用數形結合的方法，進行分類討論，討論函數y=f（x）的零點；

解答：解：（1）f（1）=-a+1，
k₁=f′（1）=1-a，所以切線l的方程為
y-f（1）=k₁×（x-1），即y=（1-a）x
作F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，則

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

F′（x）=

1

x

-1=

1

x

（1-x），解F′（x）=0得x=1．
所以任意x＞0且x≠1，F（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函數y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方．
（2）令y=0，即lnx=ax-1，畫圖可知
當a≤0時，直線y=ax-1與y=lnx的圖象有且只有一個交點，即一個零點；
當a＞0時，設直線y=ax-1與y=lnx切于點（x₀，lnx₀），切線斜率為k=

1

x0

∴切線方程為y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀），把（0，-1）代入上式可得x₀=1，k=1
∴當0＜a＜1時，直線y=ax-1與y=lnx有兩個交點，即兩個零點；
當a=1時直線y=ax-1與y=lnx相切于一點，即一個零點；
當a＞1時直線y=ax-1與y=lnx沒有交點，即無零點．
綜上可知，當a＞1時，f（x）無零點；當a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點；
當0＜a＜1時，f（x）有兩個零點．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，還考查了數形結合的思想，是一道中檔題；