Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A，B兩點．
（1）當橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數列時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦AB的長度；
（3）當橢圓的離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，且以AB為直徑的圓經過坐標原點O，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

（1）∵橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數列
∴2b²=a²+c²=a²+1
∵a²-b²=c²=1
∴a²=3，b²=2
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）直線x+y-1=0與橢圓方程

x2

3

+

y2

2

=1聯立，消去y可得5x²-6x-3=0，∴x=

6±7 2

10

∴弦AB的長度為

1+1

•|

6+7 2

10

-

6-7 2

10

|=

14

5

；
（3）直線x+y-1=0與橢圓方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1聯立，消去y可得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2-a2b2

a2+b2

∵以AB為直徑的圓經過坐標原點O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴2•

a2-a2b2

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
∴b²=

a2

2a2-1

∴c²=a²-b²=

2a4-2a2

2a2-1

∴e2=

c2

a2

=

2a2-2

2a2-1

∵橢圓的離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，
∴

1

3

≤

2a2-2

2a2-1

≤

1

2

∴

5

2

≤a≤

6

2

∴

5

≤2a≤

6

∴橢圓長軸長的取值范圍為[

5

，

6

]．