Question

【題目】已知平面上的三點(diǎn)P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．

(1)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

（Ⅱ）根據(jù)三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，設(shè)出所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，代入求解即可．

解：（1）由題意焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（a＞b＞0），

其半焦距c=6，

∴，b2=a2﹣c2=9．

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）點(diǎn)P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）

關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．

設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由題意知，半焦距

c1=6，

，

b12=c12﹣a12=36﹣20=16．

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．