Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn+2=2an（n∈N*）．
（I）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=log2an ， 數列{}的前n項和為Tn ， 證明：Tn＜1．

Answer 1

【答案】解：（I）由Sn+2=2an ，
當n=1時，a1+2=2a1 ， 解得a1=2；
當n≥2時，Sn﹣1+2=2an﹣1有an=2an﹣2an﹣1 ， 即an=2an﹣1 ，
所以數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，
數列{an}的通項公式為an=2×2n﹣1=2n ．
（Ⅱ）證明：由（I）得bn=log22n=n，
所以Tn=+++…+
=+++…+
=﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【解析】（I）求得數列的首項，將n換為n﹣1，相減可得an=2an﹣1 ， 運用等比數列的通項公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得bn=log2an=n，=﹣ ， 再由數列的求和方法：裂項相消求和，以及不等式的性質，即可得證。