Question

定義：在數列中，若，（n≥2，n∈N*，p為常數），則稱為“等方差數列”．下列是對“等方差數列”的有關判斷：

①若是“等方差數列”，則數列是等差數列；②是“等方差數列”；

③若是“等方差數列”，則數列（k∈N*，k為常數）也是“等方差數列”；

④若既是“等方差數列”，又是等差數列，則該數列是常數數列．

其中正確的命題為                 ．（寫出所有正確命題的序號）

 

Answer 1

【答案】

③④

【解析】因為①：可以舉反例．如a_n=0時數列不存在，所以①錯誤

②：對數列{（-2）ⁿ}有a_n²-a_n-1²=[（-2）ⁿ]²-[（-2）^n-1]²=4ⁿ-4^n-1不是常數，所以②錯誤

③：對數列{a_kn}有a_kn²-a_k（n-1）²=（a_kn²-a_kn-1²）+（a_kn-1²-a_kn-2²）+…+（a_kn-k+1²-a_kn-k²）=kp，而k，p均為常數，所以數列{a_kn}也是“等方差數列”，所以③正確

④：設數列{a_n}首項a₁，公差為d則有a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，所以有（a₁+d）²-a₁²=p，且（a₁+2d）²-（a₁+d）²=p，所以得d²+2a₁d=p，3d²+2a₁d=p，上兩式相減得d=0，所以此數列為常數數列，所以④正確．

故答案為：③④