Question

（2013•牡丹江一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知四邊形ABCD內接于ΘO，且AB是的ΘO直徑，過點D的ΘO的切線與BA的延長線交于點M．
（1）若MD=6，MB=12，求AB的長；
（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．

Answer 1

分析：（1）利用MD為⊙O的切線，由切割線定理以及已知條件，求出AB即可．
（2）推出∠AMD=∠ADM，連接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通過AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD是圓內接四邊形，對角和180°，求出∠DCB即可．

解答：選修4-1：幾何證明選講
解：（1）因為MD為⊙O的切線，由切割線定理知，
MD²=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），
所以MA=3，AB=12-3=9．…（5分）
（2）因為AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，連接DB，又MD為⊙O的切線，
由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）
又因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB為直角，即∠BAD=90°-∠ABD．
又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，
于是90°-∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）
又四邊形ABCD是圓內接四邊形，所以∠BAD+∠DCB=180°，
所以∠DCB=120°…（10分）

點評：本題考查圓的內接多邊形，切割線定理的應用，基本知識的考查．