Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有 成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的一個上界．已知函數，．
（1）若函數為奇函數，求實數的值；
（2）在（1）的條件下，求函數在區間上的所有上界構成的集合；
（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）;（2）；（3）.

試題分析：(1)因為為奇函數，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的條件下，證明的單調性，在恒成立，即,根據單調性，可以求出其最大值；(3)若函數在上是以3為上界的有界函數，則,將函數代入，反解,,利用函數的單調性求出他們的最大，和最小值，就是的范圍.
試題解析：解：（1）因為函數為奇函數，
所以，即，
即，得，而當時不合題意，故．      4分
（2）由（1）得：，
下面證明函數在區間上單調遞增，
證明略．                                         6分
所以函數在區間上單調遞增，
所以函數在區間上的值域為，
所以，故函數在區間上的所有上界構成集合為．  8分
（3）由題意知，在上恒成立．
，．
在上恒成立．
                     10分
設，，，由得,
設，，
,
所以在上遞減，在上遞增，                   12分
在上的最大值為，在上的最小值為 ．
所以實數的取值范圍為．                                    14分