Question

【題目】π為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）= 的單調(diào)區(qū)間；
（2）求e3 ， 3e ， eπ ， πe ， 3π ， π3這6個數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)；
（3）將e3 ， 3e ， eπ ， πe ， 3π ， π3這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），

∵f（x）= ，∴f′（x）= ，

當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜e時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)f′（x）＜0，即x＞e時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．

（2）解：∵e＜3＜π，

∴eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．

于是根據(jù)函數(shù)y=lnx，y=ex，y=πx在定義域上單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，

故這六個數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中．

由e＜3＜π及（1）的結(jié)論，得f（π）＜f（3）＜f（e），即 ，

由 ，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；

由 ，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．

綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e．

（3）證明：由（2）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，

又由（2）知， ，得πe＜eπ，

故只需比較e3與πe和eπ與π3的大小．

由（1）知，當(dāng)0＜x＜e時，f（x）＜f（e）= ，即 ．

在上式中，令x= ，又 ，則ln ＜ ，

從而2﹣lnπ ，即得lnπ ．①

由①得，elnπ＞e（2﹣ ）＞2.7×（2﹣ ）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，

∴e3＜πe．

又由①得，3lnπ＞6﹣ ＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，

∴eπ＜π3．

綜上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6個數(shù)從小到大順序為3e，e3，πe，eπ，π3，3π．

【解析】（1）先求函數(shù)定義域，然后在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到單調(diào)增、減區(qū)間；（2）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，即ln3e＜lnπe ， lneπ＜ln3π ． 再根據(jù)函數(shù)y=lnx，y=ex ， y=πx在定義域上單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3 ， e3＜eπ＜3π ， 從而六個數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中．由e＜3＜π及（1）的結(jié)論，得f（π）＜f（3）＜f（e），即 ，由此進(jìn)而得到結(jié)論；（3）由（2）可知，3e＜πe＜π3＜3π ， 3e＜e3 ， 又由（2）知， ，得πe＜eπ ， 故只需比較e3與πe和eπ與π3的大小．由（1）可得0＜x＜e時， ，令x= ，有l(wèi)n ＜ ，從而2﹣lnπ ，即得lnπ ．①，由①還可得lnπe＞lne3 ， 3lnπ＞π，由此易得結(jié)論；
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．