Question

【題目】函數，.

（1）若，設，試證明存在唯一零點，并求的最大值；

（2）若關于的不等式的解集中有且只有兩個整數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）根據零點存在性定理，首先證明函數的單調性，再證明存在區間使 即證明；求函數的最大值，先求函數的導數求導函數的零點，并判斷零點兩側的單調性，即可求得函數的最大值；（2）不等式等價于，然后參變分離為 ，利用導數分析函數 以及函數，根據所分析函數性質，當時，只有2個正整數解，求的取值范圍.

試題解析：（1）證明：由題意知，

于是

令，，

∴在上單調遞減.

又，

所以存在，使得，

綜上存在唯一零點.

解：當，于是，在單調遞增；

當，于是，在單調遞減；

故，

又，，，

故.

（2）解：等價于.

，

令，則，

令，則，即在上單調遞增.

又，

∴存在，使得.

∴當在上單調遞增；

當在上單調遞減.

∵，，

且當時，，

又，，

故要使不等式解集中有且只有兩個整數，的取值范圍應為