Question

已知函數(shù)
（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的 “凹函數(shù)”．試證當(dāng)時，為“凹函數(shù)”．

Answer 1

（1）（2）理解凹函數(shù)的定義 ，然后結(jié)合中點(diǎn)函數(shù)值與任意兩點(diǎn)的函數(shù)值和的關(guān)系式作差法加以證明。

試題分析：解(1)由,得
函數(shù)為上單調(diào)函數(shù). 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù),則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.
令,上述問題等價于,而為在上的減函數(shù),則,于是為所求.
(2)證明:由得

 

而 ①
又, ∴ ②
∵  ∴,
∵ ∴ ③ 
由①、②、③得
即,從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)
點(diǎn)評：結(jié)合均值不等式的思想，以及函數(shù)的解析式來求解，屬于中檔題。