Question

已知橢圓長軸長與短軸長之差是2-2，且右焦點F到此橢圓一個短軸端點的距離為，點C（m，0）是線段OF上的一個動點（O為坐標原點）。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點，使得，并說明理由。
【注：當直線BA的斜率存在且為k時，的方向向量可表示為（1，k）】

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知，
又，解得：a=，b=c=1，
∴橢圓的方程為。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為y=k（x-1），
代入，得，
設，則，   ①
∴，
∴，

而AB的方向向量為（1，k），
∴，
∴當時，，即存在這樣的直線l；
當時，k不存在，即不存在這樣的直線l。