Question

（2007•煙臺三模）一個多面體的直觀圖（正視圖、側視圖，俯視圖）如圖所示，M，N分別為A₁B，B₁C₁的中點．
（1）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁BC；
（3）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：（1）先根據題中的三視圖得到AC⊥BC，AC=BC=CC₁，然后連接AC₁和AB₁，再由直三棱柱的性質得到四邊形ABB₁A₁為矩形，再由中位線定理可得到MN∥AC₁，最后根據線面平行的判定定理可證明MN∥平面ACC₁A₁．
（2）先根據線面垂直的性質定理可得到BC⊥AC₁，再根據A₁C⊥AC₁，根據線面垂直的判定定理得到AC₁⊥平面A₁BC，最后根據MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC，從而得證．
（3）先過點C作CD⊥AB與D．再過點D作DE⊥A₁B，可得∠CED即為所求二面角的平面角，然后通過求邊長求出角的度數即可．

解答：解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁；
（1）連接AC₁，AB₁，由直三棱柱的性質得AA₁⊥平面A₁B₁C₁；
所以AA₁⊥A₁B₁，則四邊形ABB₁A₁為矩形，
由矩形的性質得AB₁過A₁B的中點M．
在△AB₁C₁中，由中位線性質得MN∥AC₁，
又AC₁?ACC₁A₁，MN?ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．
（2）因為BC⊥平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁，
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁，
又BC∩A₁C=C，
所以AC₁⊥平面A₁BC，
由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC．
（3）過點C作CD⊥AB與D．再過點D作DE⊥A₁B，
連接CE，
∵AC=BC；
∴CD⊥AB由其為直棱柱⇒CD⊥平面ABB₁A₁；
則∠CED即為所求二面角的平面角．
又CD=

1

2

AB=

2

2

a，tan∠ABA₁=

DE

DB

=

AA 1

A1B

⇒

DE

2 2 a

=

a

3 a

⇒DE=

6

6

a，
∴tan∠CED=

CD

DE

=

3

，即∠CED=60°，
故二面角A-A₁B-為60°．

點評：本題主要考查中位線定理、線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查對立體幾何基本定理的綜合應用和空間想象能力．