Question

已知三棱錐P-ABC的三視圖如如圖所示，
（Ⅰ）求證：△PBC是直角三角形；
（Π）求三棱錐P-ABC是全面積；
（Ⅲ）當點E在線段PC上何處時，AE與平面PAB所成的角為60⁰

Answer 1

分析：（1）根據視圖中所給的數據特證可以證明BC⊥面PAB，由線面垂直的性質證出BC⊥PB，由此證得三角形為直角三角形
（2）由于三棱錐的四個面都是直角三角形，故把各個棱的長度求出，由三角形面積公式求出各面的面積相加既得；
（3）本題中出現了同一點出發的三個棱兩兩垂直的特征，故可以建立空間直角坐標系，設出E點的坐標，用參數表示出直線AE的方向向量，求出面PAB的法向量，由線面角公式建立起點E的坐標所滿足的方程，求出參數即可．

解答：解：解法一：
（Ⅰ）由俯視圖可得：
面PAC⊥ABC，面PAB⊥面ABC
又面PAC∩面PAB=PA                                
故PA⊥面ABC
∵BC?面ABC，∴BC⊥PA
有俯視圖知BC⊥AB，∴BC⊥面PAB∵BP?面PAB，∴BC⊥PB
故△PBC是以B為直角頂點的直角三角形．

（Ⅱ）三角形PAC的面積為

1

2

×

2

×

2

=1，PC=2
∵俯視如圖是底邊長為

2

，斜邊上的高為

2

2

的等腰直角三角形
∴三角形PAB的面積為

2

2

，且PB=

3

由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，
故其面積為

1

2

×BC×PB=

3

2

故三棱錐P-ABC的全面積為

3+ 2 + 3

2

（Ⅲ）在面ABC內過A做AC的垂線AQ，
以A為原點，AC、AQ、AP所在直線分別為
x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
如如圖所示則P(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)B(

2

2

，

2

2

，0)
設

n

=(x，y，z)為面PAB的一個法向量
則

n • AP = 2 z=0 n • AB = 2 2 x+ 2 2 y=0

取x=1．得

n

=(1，-1，0)設

CE

=λ

CP

，E(x，y，z)
∵

CP

=(-

2

，0，

2

)，

CE

=(x-

2

，y，z)
∴E((1-λ)

2

，0，

2

λ)sin300=

| n • AE |

| n |•| AE |

=

|1-λ| 2

2 2(1-λ)2+2λ2

=

1

2

解得λ=

1

2

∴E=(

2

2

，0，

2

2

)
故當E為PC的中點時，AE與面PAB所成的為60°

解法二：
（Ⅰ）由正視圖和俯視圖可判斷PA⊥AC，且PA⊥AB∴PA⊥面ABC
在面ABC內過A做AC的垂線AQ
以A為原點，AC、AQ、AP所在直線分別為
x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如如圖所示
則PP(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)B(

2

2

，

2

2

，0)

PB

=(

2

2

，

2

2

，-

2

)，

CB

=(-

2

2

，

2

2

，0)

PB

•

CB

=0
∴BC⊥PB
故△PBC是以B為直角頂點的直角三角形．
（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）設

n

=(x，y，z)為面PAB的一個法向量
則

n • AP = 2 z=0 n • AB = 2 2 x+ 2 2 y=0

取x=1．得

n

=(1，-1，0)

CE

=λ

CP

，E(x，y，z)
∵

CP

=(-

2

，0，

2

)，

CE

=(x-

2

，y，z)
∴E((1-λ)

2

，0，

2

λ)sin300=

| n • AE |

| n |•| AE |

=

|1-λ| 2

2 2(1-λ)2+2λ2

=

1

2

解得λ=

1

2

∴E=(

2

2

，0，

2

2

)
故當E為PC的中點時，AE與面PAB所成的為60°．

點評：本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查三視圖與實物圖之間的關系，用三視圖中的數據還原出實物圖的數據，再根據相關的公式求表面積與體積，本題求的是四棱錐的體積，其公式為

1

3

×底面積×高．三視圖的投影規則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”，三視圖是新課標的新增內容，在以后的高考中有加強的可能．用向量法求線面角是空間向量的一個重要運用，其步驟是：
一、建立坐標系，表示出相應量的坐標，
二、求出直線的方向向量以及面的法向量，
三、利用公式表示線面角或者面面角的三角函數值求角．
用向量解決幾何問題是新課標的新增內容，這幾年高考中此工具是一個常考常新的類型．