Question

如圖，已知菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，E是邊CD的中點，若點P是線段EC上的動點，則|

DP

AP • BP

|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：因為菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，E是邊CD的中點，所以BE⊥AB，所以以B為原點，AB，BE所在是直線分別為x，y軸建立坐標系，分別寫出所求中向量的坐標，利用坐標運算解答．

解答： 解：因為菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，E是邊CD的中點，所以BE⊥AB，
所以以B為原點，AB，BE所在是直線分別為x，y軸建立坐標系，
因為菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，E是邊CD的中點，所以A（-1，0），C（

1

2

，

3

2

），D（-

1

2

，

3

2

），設P（x，

3

2

），其中x∈[0，

1

2

]，
所以

DP

=（x+

1

2

，0），

AP

=（x+1，

3

2

），

BP

=（x，

3

2

），所以

AP

•

BP

=x²+x+

3

4

，|

DP

|=|x+

1

2

|，
所以|

DP

AP • BP

|=

x+ 1 2

x2+x+ 3 4

=

x+ 1 2

(x+ 1 2 )2+ 1 2

=

2

(2x+1)+ 2 2x+1

≤

2

2

，當且僅當2x+1=

2

2x+1

，即x=

2 -1

2

時等號成立，當x=0時，|

DP

AP • BP

|=

2

3

，
所以|

DP

AP • BP

|的取值范圍為[

2

3

，

2

2

]；
故答案為：[

2

3

，

2

2

]．

點評：本題考查了向量的坐標運算；關鍵是適當建立坐標系，利用代數的方法解答．