Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB和△COD為兩等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0），（a＞0），設(shè)△AOB和△COD的
外接圓圓心分別為點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；
（Ⅱ）若直線AB截⊙N所得弦長(zhǎng)為4，求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再，利用直線與圓相切時(shí)，點(diǎn)線距離等于半徑長(zhǎng)求解；（2）利用圓心N到直線l_AB距離及直線l_AB截⊙N的所得弦長(zhǎng)為4，可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解（Ⅰ）圓心M（-1，1），∴圓M方程為（x+1）²+（y-1）²=2，直線 l_CD方程為x+y-a=0
∵⊙M與直線l_CD相切，∴圓心 M到直線l_CD的距離d=

|-a|

2

=

2

，
∴|a|=2，又a＞0，a=2
∴直線l_CD的方程為x+y-2=0；
（Ⅱ）直線l_AB方程為：x-y+2=0，圓心N(

a

2

，

a

2

)，
∴圓心N到直線l_AB距離為

| a 2 - a 2 +2|

2

=

2

，
∵直線l_AB截⊙N的所得弦長(zhǎng)為4
∴22+(

2

)2=

a2

2

，∴a²=12，又a＞0，a=2

3

∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-

3

)2+(y-

3

)2=6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)利用點(diǎn)線距離，半徑及弦長(zhǎng)的一般構(gòu)造的直角三角形是解題的關(guān)鍵