Question

對任意非零向量a、b，求證：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．

Answer 1

分析：分向量共線與不共線的情況，利用向量加法、減法的三角形法則做出圖形，結合三角形的邊的關系：“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行證明．

解答：證明：分三種情況考慮．
（1）當a、b共線且方向相同時，|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|．
（2）當a、b共線且方向相反時，
∵a-b=a+（-b），a+b=a-（-b），
利用（1）的結論有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|．
（3）當a，b不共線時，設

OA

=a，

OB

=b，作

OC

=

OA

+

OB

=a+b，

BA

=

OA

-

OB

=a-b，
利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|．
綜上得證．

點評：本題主要考查了平面向量的共線與不共線時兩向量和（或差）的模與向量模的和（或差）的大小關系，解決問題的關鍵是要熟練運用向量的加法及減法的三角形法則（平行四邊形法則）．分類討論的數學思想要注意掌握．