Question

對任意非零向量a、b,求證:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

Answer 1

證明：分三種情況考慮.

    (1)當a、b共線且方向相同時,|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|,|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|.

    (2)當a、b共線且方向相反時,∵a-b=a+(-b),a+b=a-(-b),利用(1)的結論有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|,|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|.

    (3)當a、b不共線時,設=a,=b,作=+=a+b,=-=a-b,利用三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.

綜上得證.