Question

【題目】已知， 。

（1）寫出的解析式與定義域；

（2）畫出函數的圖像；

（3）試討論方程的根的個數。

Answer 1

【答案】(1)定義域 （2）見解析（3）時，方程有一解； 時，方程有兩解； 時，方程無解。

【解析】試題分析：（1）根據表達式，得出函數f（x）的定義域是（﹣2，+∞），將H（x）化成分段函數的形式．

（2）得到函數y=H（x﹣1）+2的分段表達式，進而可以作出它的圖象；

（3）根據圖象可以得到，當m=2或m≥10時，直線y=m與函數y=H（x﹣1）+2圖象有且僅有一個公共點；當2＜m＜10時，直線y=m與函數y=H（x﹣1）+2圖象有兩個公共點；當m＜2時，直線y=m與函數y=H（x﹣1）+2圖象沒有公共點．由此則不難得出方程根的個數了．

試題解析：

（1）的定義域為，

（2）=，

（3）在同一坐標系里作出直線y=m，觀察它與函數y=H（x）圖象的交點的個數，可得

①當m=2或m≥10時，直線y=m與函數y=H（x﹣1）+2圖象有且僅有一個公共點；②當2＜m＜10時，直線y=m與函數y=H（x﹣1）+2圖象有兩個公共點；③當m＜2時，直線y=m與函數y=H（x﹣1）+2圖象沒有一個公共點

由此可得：當m∈{2}∪[10，+∞）時，方程H（x﹣1）+2=m有且僅有一個實數根；

時，方程有一解；

時，方程有兩解； 時，方程無解。