Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，證明： 在定義域上為減函數；

（Ⅱ）若.討論函數的零點情況.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當時，函數無零點；當或時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，對函數求導，利用導數與函數單調性的關系，可證明函數在定義域上為減函數；（Ⅱ） 的根情況，方程化簡為，構造函數，利用導數判斷這個函數的取值情況，與結合可得，函數的零點情況．

試題解析：（Ⅰ）由題意可知函數的定義域為.

，令，則，

當時， ；當時， ，所以，

即，所以，所以在定義域上為減函數.

（Ⅱ）的零點情況，即方程的根情況，

因為，所以方程可化為，

令，則，令，可得，

當時， ，

當時， ，所以，

且當時， ；當時， ，

所以的圖像大致如圖所示，

結合圖像可知，當時，方程沒有根；

當或時，方程有一個根；

當時，方程有兩個根.

所以當時，函數無零點；當或時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點.