Question

【題目】已知公差的等差數列的前項和為，且滿足，.

（1）求數列的通項公式；

（2）求證：是數列中的項；

（3）若正整數滿足如下條件：存在正整數，使得數列，，為遞增的等比數列，求的值所構成的集合.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3) 見解析

【解析】

(1)根據等差數列性質,結合求得等再求的通項公式.
(2)先求出,再證明滿足的通項公式.
(3)由數列,,為遞增的等比數列可得,從而根據的通項公式求的值所構成的集合.

(1)因為為等差數列,故,故

或,又公差,所以,故,故.
(2)由可得,

故,

若是數列中的項,則

即,

即,故是數列中的項；

(3)由數列，，為遞增的等比數列,則

即.由題意存在正整數使得等式成立,

因為,故能被5整除,設,

則,又為整數,故為整數設,即，故,解得,又,故,

不妨設,則.

即

又當時,由得

滿足條件.

綜上所述,.