Question

【題目】已知橢圓的焦距為，設右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，線段的中點為，且.

（1）求弦的長；

（2）當直線的斜率，且直線時， 交橢圓于，若點在第一象限，求證：直線與軸圍成一個等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）關鍵求點A坐標關系：設，則根據條件表示， ，再根據向量數量積得，即得的長為.（2）證直線與軸圍成一個等腰三角形，就是證直線的斜率相反.先確定A點坐標，并求出橢圓方程，再設與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理可得兩點橫坐標和與積的關系，代入直線的斜率公式，并化簡可證它們為相反關系.

試題解析：（1）因為橢圓： 的焦距為，則，

設，則， ， ，

，則，所以的長為.

（2）因為直線的斜率時，且直線，所以，設， ，

∴由（1）知， ，所以，又半焦距為，所以橢圓，聯解：

得，設，則， ，

設直線的斜率分別為，則， ，那么

，

所以直線與軸圍成一個等腰三角形.