Question

【題目】已知函數f（x）=log3 ，g（x）=﹣2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）當a=﹣1時，證明h（x）是奇函數；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=log3g（x）有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：當a=﹣1時，
f（x）=log3 ，g（x）=2x，
h（x）=log3 +2x，
定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
又∵h（﹣x）=log3 ﹣2x，
∴h（x）+h（﹣x）=log3 +log3 +2x﹣2x=0，
故h（x）為奇函數；
（Ⅱ）∵f（x）=log3g（x），
∴ =﹣2ax+a+1，且x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
∴（1﹣2x）a= ﹣1=﹣ ，
顯然a≠0，
∴ =（x+1）（x﹣ ），
利用圖象可知，當 ＞1時，
方程 =（x+1）（x﹣ ）在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）內有兩個不等實數根，
解得0＜a＜1．

【解析】（Ⅰ）當a=﹣1時，化簡h（x）=log3 +2x，并求其定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），再判斷h（x）+h（﹣x）=0即可；（Ⅱ）化簡可得 =﹣2ax+a+1，且x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），從而可得 =（x+1）（x﹣ ），從而解得．
【考點精析】通過靈活運用函數的奇偶性和函數的零點，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點即可以解答此題．