Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在上的最大值；

（2）令，若在區間上為單調遞增函數，求的取值范圍；

（3）當時，函數的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數.若正常數滿足條件.試比較與0的關系，并給出理由.

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據導數，即可得出函數的單調性，從而得到函數的最大值.

（2）由在區間單調遞增函數，所以在（0，3）恒成立，分離參數得出，即可求解實數的取值范圍.

（3）由題意得有兩個實根，化簡可得，可得，只需證明

令，設即可得到．

試題解析：

（1）

函數在[,1]是增函數，在[1,2]是減函數，

所以．

（2）因為，所以，

因為在區間單調遞增函數，所以在（0，3）恒成立

，有=，（）

綜上：

（3）與0的關系為： 理由如下：

∵，又有兩個實根，

∴，兩式相減，得，

∴,

于是

．

．

要證： ，只需證：

只需證：．(*)

令，∴(*)化為 ，只證即可．

在（0，1）上單調遞增，，

即．∴．

（其他解法根據情況酌情給分）