Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在定義域上是單調遞增函數，求的取值范圍；

（2）若恒成立，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據題意，利用導數研究函數的單調性，則在恒成立，可得，方法一：令在恒成立，利用二次函數性質，即可求解參數范圍；方法二：令在恒成立，轉化不等式，利用基本不等式求解，再根據恒成立思想，即可求解參數取值范圍.

（2）由題意，化簡得在恒成立，令，不難發現，即在恒成立，根據極值點概念，判斷是的極值，可求解參數值，檢驗成立.

（1）函數在定義域上是單調遞增函數，可知導函數在恒成立，

即在恒成立，

可得

方法一：令在恒成立，

①當對稱軸，即時，在單調遞增，，即恒成立；

②當對稱軸，結合二次函數的性質要使在恒成立，，

即，解得

綜上可得的取值范圍是；

方法二：令在恒成立，

可得

即在恒成立，

，

，

即，

故的取值范圍是；

（2）由題意恒成立，

即在恒成立，

令，

不難發現，即

那么時，取得最大值，也是極大值，

可知是導函數的一個解．

即，

解得

經檢驗，當時，在遞增，在遞減，從而成立，符合題意，

故得．