Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．

（Ⅰ） 當a=﹣1時，求證：f（x）≤0；

（Ⅱ） 對任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使 成立，求a的取值范圍．（其中e是自然對數的底數，e=2.71828…）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，從而證明結論即可．

（2）令，把問題轉化為，設，根據函數的單調性證明即可．

試題分析：

解：（Ⅰ）證明：當 a=﹣1時，f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），

則 ，令f'（x）=0，得x=0．

當﹣1＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．

故當x=0時，函數f（x）取得極大值，也為最大值，

所以f（x）max=f（0）=0，

所以，f（x）≤0，得證．

（Ⅱ）不等式 ，

即為 ．

而

= ．

令 ．故對任意t≥e，存在x∈（﹣1，+∞），使 恒成立，

所以 ，

設 ，則 ，

設u（t）=t﹣1﹣lnt，知 對于t≥e恒成立，

則u（t）=t﹣1﹣lnt為[e，+∞）上的增函數，

于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，

即 對于t≥e恒成立，

所以 為[e，+∞）上的增函數，

所以 ；

設p（x）=﹣f（x）﹣a，即p（x）=﹣ln（x+1）﹣ax﹣a，

當a≥0時，p（x）為（0，+∞）上的減函數，

且其值域為R，可知符合題意．

當a＜0時， ，由p'（x）=0可得 ，

由p'（x）＞0得 ，則p（x）在 上為增函數，

由p'（x）＜0得 ，則p（x）在 上為減函數，

所以 ．

從而由 ，解得 ，

綜上所述，a的取值范圍是