Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；
（2）當a2=4b時，求函數f（x）+g（x）的單調區間，并求其在區間（﹣∞，﹣1）上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax2+1（a＞0），則f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，則g′（x）=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）為公共切點，可得：2a=3+b ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：

（2）解：由題設a2=4b，設

則 ，令h'（x）=0，解得： ， ；

∵a＞0，∴ ，

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣		-	）
h′（x）	+		﹣		+
h（x）		極大值		極小值

∴原函數在（﹣∞，﹣ ）單調遞增，在 單調遞減，在 ）上單調遞增

①若 ，即0＜a≤2時，最大值為 ；

②若 ＜﹣ ，即2＜a＜6時，最大值為

③若﹣1≥﹣ 時，即a≥6時，最大值為h（﹣ ）=1

綜上所述：當a∈（0，2]時，最大值為 ；當a∈（2，+∞）時，最大值為

【解析】（1）根據曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根據a2=4b，構建函數 ，求導函數，利用導數的正負，可確定函數的單調區間，進而分類討論，確定函數在區間（﹣∞，﹣1）上的最大值．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．