Question

已知函數f(x)=

1

2

x2+lnx+(a-4)x在（1，+∞）上是增函數．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的結論下，設g(x)=|ex-a|+

a2

2

，x∈[0，ln3]，求函數g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）知道函數是增函數，求參數范圍，轉化為導函數大于等于0恒成立，用分離參數求最值解決．
（2）為含有參數的絕對值函數的最值問題，關鍵是去絕對值，需考慮e^x-a的正負問題，進行討論．
去絕對值后轉化為關于t的一次函數，利用單調性求最值即可．

解答：解：（1）f′(x)=x+

1

x

+a-4，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．
∴a≥4-(x+

1

x

)恒成立，
∵x+

1

x

≥2，當且僅當x=1時取等號，
∴4-(x+

1

x

)＜2，∴a≥2；
（2）設t=e^x，則h(t)=|t-a|+

a2

2

，
∵0≤x≤ln3，∴1≤t≤3．
當2≤a≤3時，h(t)=

-t+a+ a2 2 ，1≤t＜a t-a+ a2 2 ，a≤t≤3

，
∴h（t）的最小值為h(a)=

a2

2

，
當a＞3時，h(t)=-t+a+

a2

2

，
∴h（t）的最小值為h(3)=a-3+

a2

2

．
綜上所述，當2≤a≤3時，g（x）的最小值為

a2

2

，
當a＞3時，g（x）的最小值為a-3+

a2

2

．

點評：本題考查已知函數單調性求參數范圍、求函數的最值、分類討論思想等，綜合性較強．