Question

設函數的圖象與直線相切于．

（1）求在區間上的最大值與最小值；

（2）是否存在兩個不等正數，當時，函數的值域也是，若存在，求出所有這樣的正數；若不存在，請說明理由；

（3）設存在兩個不等正數，當時，函數的值域是，求正數的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）。依題意則有：

，所以，解得，所以；

，由可得或。

在區間上的變化情況為：

	0		1		3		4
		+	0	—	0	+
	0	增函數	4	減函數	0	增函數	4

所以函數在區間上的最大值是4，最小值是0。

（Ⅱ）由函數的定義域是正數知，，故極值點不在區間上；

（1）若極值點在區間，此時，在此區間上的最大值是4，不可能等于；故在區間上沒有極值點；

（2）若在上單調增，即或，

則，即，解得不合要求；

（3）若在上單調減，即，則，

兩式相減并除得：，                ①

兩式相除并開方可得，

即，整理并除以得：，                  ②

代入①有，與矛盾。

（Ⅲ）同（Ⅱ），極值點不可能在區間上；

（1）若極值點在區間，此時，

故有①或②

①由，知，，當且僅當時，；

再由，知，，當且僅當時，

由于，故不存在滿足要求的值。

②由，及可解得，

所以，知，；

即當時，存在，，

且，滿足要求。

（2）若函數在區間單調遞增，則或，

且，故是方程的兩根，

由于此方程兩根之和為3，故不可能同在一個單調增區間；

（3）若函數在區間單調遞減，則，，

兩式相除并整理得，由知，

即，

再將兩式相減并除以得，，

即，所以是方程的兩根，令，

則，解得，

即存在，滿足要求。

綜上可得，當時，存在兩個不等正數，使時，

函數的值域恰好是。