Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，E是AB的中點，F是DE的中點，沿直線DE將△ADE翻折成棱錐A-BCDE，當棱錐A-BCDE的體積最大時，則直線AB與CF所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角,空間向量及應用

分析：根據棱錐A-BCDE的體積最大時，AF⊥底面BCDE，建立坐標系即可得到結論．

解答： 解：作出對應的圖象，由題意知當棱錐A-BCDE的體積最大時，滿足AF⊥底面BCDE，
以F為坐標原點，以FA，FC，FA分別為x，y，z軸建立空間坐標系，
∵AB=2BC=2CD=2，
∴BC=CD=1，
則FA=

3

2

，FD=FC=

1

2

，
即D（

1

2

，0，0），E（-

1

2

，0，0），C（0，

3

2

，0），A（0，0，

3

2

），
設B（x，y，z），則

DC

=

EB

，
即（-

1

2

，

3

2

，0）=（x+

1

2

，y，z），
解得x=-1，y=

3

2

，z=0，即B（-1，

3

2

，0），
則

AB

=（-1，

3

2

，-

3

2

），

FC

=（0，

3

2

，0），
則

AB

•

FC

=

3

2

×

3

2

=

3

4

，|

FC

|=

3

2

，|

AB

|=

1+( 3 2 )2+( 3 2 )2

=

10

2

，
則cos＜

AB

，

FC

＞=

AB • FC

| AB |•| FC |

=

3 4

3 2 × 10 2

=

3

30

=

30

10

，
故直線AB與CF所成角的余弦值為

30

10

，
故答案為：

30

10

點評：本題主要考查空間異面直線所成角的求解，建立坐標系，利用向量法是解決本題的關鍵．