Question

若函數f(x)＝ax³－bx＋4，當x＝2時，函數f(x)有極值－.

(1)求函數的解析式；

(2)若關于x的方程f(x)＝k有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：由題意可知f′(x)＝3ax²－b，

(1)于是解得

故所求的解析式為f(x)＝x³－4x＋4.

(2)由(1)可知f′(x)＝x²－4＝(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.

當x變化時f′(x)、f(x)的變化情況如下表所示：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調遞增		單調遞減	－	單調遞增

因此，當x＝－2時，f(x)有極大值；

當x＝2時，f(x)有極小值－.

所以函數的大致圖象如圖．

故實數k的取值范圍是－＜k＜.