Question

【題目】已知數列的前項和滿足：，數列滿足：對任意有.

（1）求數列與數列的通項公式；

（2）記，數列的前項和為，證明：當時，．

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析.

【解析】

（1）本小題考察與的關系，當時利用得到，得到數列是以，公比的等比數列，得出的通項公式，而當時，根據得到，需要驗證時的值；（2）根據（1）得到，可以知道用錯位相減法求的前項和，得到，令=，利用函數的單調性即可證得結論.

（1）當時，，所以，

當時，，

所以數列是以，公比的等比數列，通項公式為.

由題意有，得.

當時，

，于是得,故數列的通項公式為．

（2） 證明：==，所以=，

錯位相減得=，所以，

即，

下證：當時，，令=，==

當時，，即當時，單調減，又，

所以當時，，即，即當時，.