Question

（本題滿分15分）
一次數學考試共有10道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個選項是正確的．設計試卷時，安排前n道題使考生都能得出正確答案，安排8-n道題，每題得出正確答案的概率為，安排最后兩道題，每題得出正確答案的概率為，且每題答對與否相互獨立，同時規定：每題選對得5分，不選或選錯得0分．
（1）當n=6時，
①分別求考生10道題全答對的概率和答對8道題的概率；
②問：考生答對幾道題的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分數的期望不小于40分，求n的最小值．

Answer 1

解：（1）①當n = 6時，10道題全答對，即后四道題全答對的相互獨立事件同時發生，
10道題題全答對的概率為．                        2分
答對8道題的概率為++ 4·=＝．       5分
②答對題的個數X的可能值為6，7，8，9，10，其概率分別為：
P（X = 6） = =;   P（X = 7） = 2·+2· =＝;
         P（X = 8） = ＝;       又P（X ³ 9） =1－＝;
所以：答對7道題的概率最大為．                                10分
（2）當n = 6時，分布列為：

分值x	30	35	40	45	50

得Ex= 30´+35´+ 40´+ 45´+50´= =37．5 ，
當n =7時，Ex="40" ． 所以n的最小值為7．                      15分
另解：5n + +=5（）³ 40, 所以n的最小值為7．

略