Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，已知在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為在上有解的問題，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而求得的取值范圍；

（2）要證，只需證，根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得到，設(shè)，則只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而證得結(jié)論.

（1）函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，

的圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，

即在上有解，即在上有解，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2），．

在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，

，則且，

，即，

設(shè)，則，

要證，即證，

只需證，即證，

設(shè)，

則，

在上單調(diào)遞增，，即，

.