Question

已知定義在R上的奇函數f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）且x=1時，f（x）取得極小值-．
（I ）求f（x）的解析式；
（II）求f（x）的單調區間；
（III）當，x∈[-1，1]時，函數圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？證明你的結論．

Answer 1

解：（I ）∵f（x）是奇函數，∴f（0）=0，∴d=0．又 f（1）=-f（-1），
∴b=0，∴f（x）=ax³ +cx，f′（x）=3ax²+c．
由f′（1）=0 及 f（1）=- 得 3a+c=0，a+c=-，a=，c=-．
∴f（x）=x³-=0．
（II）令 f′（x）=0，解得 x=1，或 x=-1．∵f′（x）在-1的左側大于0，右側小于0，
f′（x）在1的左側小于0，右側大于0，故f（x）的增區間為（-∞，-1），（1，+∞），減區間為（-1，1）．
（III）當x∈[-1，1]時，函數圖象上不存在兩點使結論成立．假設圖象上存在兩點A、B，時的過此兩點的
切線互相垂直，則由f′（x）= 可知，k₁=，k₂=，
且 =-1．∵x∈[-1，1]，∴（x₁²-1）•（x₂²-1）≥0，與上式相矛盾，
故假設不成立．
分析：（I ）利用 f（0）=0 求出 d 值，由f（1）=-f（-1）求得b 值，利用f′（1）=0 及 f（1）=-，求得a 和c 的值，從而求得f（x）的解析式．
（II）利用導數的符號求出函數的單調區間，使導數大于0的區間即為函數的增區間，使導數小于0的區間即為函數的減區間．
（III） 假設圖象上存在兩點A、B，時的過此兩點的切線互相垂直，則 k₁=，k₂=，且k₁•k₂=-1．這與x∈[-1，1]，k₁•k₂=（x₁²-1）•（x₂²-1）≥0矛盾，故假設不對．
點評：本題考查函數在某點存在極值的條件，利用導數研究函數的單調性，導數的幾何意義，用反證法證明（III）當x∈[-1，1]時，函數圖象上不存在兩點使結論成立，是解題的難點．