Question

在直角梯形PBCD中A為PD的中點，如下左圖。，將沿AB折到的位置，使，點E在SD上，且，如下右圖。
（1）求證：平面ABCD；（2）求二面角E—AC—D的正切值．

Answer 1

解：（1）證明：在圖中，由題意可知，
為正方形，所以在圖中，，
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
因為，ABBC，
所以BC平面SAB，………………………3分
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，………………………6分
（2）解法一： 在AD上取一點O，使，連接EO。
因為，所以EO//SA…………………………7分
所以EO平面ABCD，過O作OHAC交AC于H，連接EH，
則AC平面EOH，所以ACEH。
所以為二面角E—AC—D的平面角，………………………9分
在中，…11分
，即二面角E—AC—D的正切值為………12分
解法二：如圖，以A為原點建立直角坐標系，
……………7分
易知平面ACD的法向為
設平面EAC的法向量為
……………………9分
由，所以，可取
所以………………………………11分
所以
所以,即二面角E—AC—D的正切值為…………12分

略