【題目】已知函數(shù)
．
（1）設
是函數(shù)
的極值點，求
的值并討論
的單調性；
（2）當
時，證明：＞
．
【答案】（1）函數(shù)
在
上單調遞減，在
上單調遞增．
（2）見解析.
【解析】
試題（1）根據(jù)
是的極值點得
，可得導函數(shù)值為0，即
，求得
．進一步討論導函數(shù)為正、負的區(qū)間，即得解；
（2）可以有兩種思路，一種是注意到當
，
時，
，
轉化成證明當
時，＞
．
研究函數(shù)當
時， 取得最小值且
．
證得
，
=
=
．
得證.
第二種思路是：當，時，，根據(jù)
,轉化成
．
構造函數(shù)
，研究得到函數(shù)
在
時取唯一的極小值即最小值為
．達到證明目的.
試題解析：（1）
，由是的極值點得，
即，所以． ２分
于是
，
，
由
知 
在上單調遞增，且，
所以
是
的唯一零點． ４分
因此，當
時，
；當
時，
，所以，函數(shù) 在
上單調遞減，在上單調遞增． ６分
（2）解法一：當，時，，
故只需證明當時，＞． ８分
當時，函數(shù)
在
上單調遞增，
又
，
故在上有唯一實根
，且
． 10分
當
時，；當
時，，
從而當時， 取得最小值且．
由
得
,
． 12分
故
==．
綜上，當時，． 14分
解法二：當，時，，又,所以
． ８分
取函數(shù)，
，當
時，
，單調遞減；當
時，
，單調遞增，得函數(shù)在時取唯一的極小值即最小值為． 12分
所以
，而上式三個不等號不能同時成立，故
＞
． 14分
暑假作業(yè)海燕出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知圓
滿足：①圓心在第一象限，截
軸所得弦長為2；②被
軸分成兩段圓弧，其弧長的比為
；③圓心到直線
的距離為
.
（Ⅰ）求圓
的方程；
（Ⅱ）若點
是直線
上的動點，過點
分別做圓
的兩條切線，切點分別為
， 
，求證：直線
過定點.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了解某校高一1000名學生的物理成績，隨機抽查了部分學生的期中考試成績，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）估計該校高一學生物理成績不低于80分的人數(shù)；
（2）若在本次考試中，規(guī)定物理成績在m分以上（包括m分）的為優(yōu)秀，該校學生物理成績的優(yōu)秀率大約為18%，求m的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】給出兩塊面積相同的正三角形紙片如圖，要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐（正三棱錐的三個側面是全等的等腰三角形）模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱（正三棱柱上、下底面是正三角形，側面是矩形）模型，使紙片正好用完，請設計一種剪拼方法，分別標示在圖（1）（2）中，并作簡要說明.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】身體素質拓展訓練中，人從豎直墻壁的頂點A沿光滑桿自由下滑到傾斜的木板上（人可看作質點），若木板的傾斜角不同，人沿著三條不同路徑AB、AC、AD滑到木板上的時間分別為t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD與板的夾角分別為70o、90o和105o，則（ ）
A. t1>t2>t3 B. t1<t2<t3 C. t1=t2=t3 D. 不能確定t1、t2、t3之間的關系
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50）內的人數(shù)；
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