Question

【題目】函數f（x）= ，直線y=m與函數f（x）的圖象相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標依次記為a，b，c，d，有以下四個結論 ①m∈[3，4）
②abcd∈[0，e4）
③a+b+c+d∈
④若關于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則m取值唯一．
則其中正確的結論是（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）= ，∴函數f（x）的圖象如下
若直線y=m與函數f（x）的圖象相交于四個不同的點，由圖可知m∈[3，4），故①正確
四個交點橫坐標從小到大，依次記為a，b，c，d，則a，b是x2+2x+m﹣3=0
的兩根，∴a+b=﹣2，ab=m﹣3，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e4 ，
∴abcd∈[0，e4），∴②是正確的．
由2﹣lnx=4得x= ，由2﹣lnx=3得x= ，∴c∈（ ， ]，又∵cd=e4 ，
∴a+b+c+d=c+ ﹣2在（ ， ]是遞減函數，∴a+b+c+d∈[e5+ ﹣2，e6+ ﹣2）；
∴③是正確的
若關于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=﹣x+m有三個不同的交點，
而直線y=﹣x+3 與y=﹣x+ 均與y=f（x）有三個交點，∴m不唯一．∴④是不正確的
故選A
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．