Question

【題目】已知函數.

（1）當時, 求曲線的極值;

（2）求函數的單調區間;

（3）若對任意及時, 恒有成立, 求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為.（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）先求函數導數，再求導函數在定義區間上零點。列表分析導函數符號變化規律得函數極值（2）由導函數為零點得，根據零點是否在定義區間上，以及兩個零點大小關系，分類討論導函數符號變化規律，確定對應單調區間：共分四種情況，，，（3）多變量不等式恒成立問題，一般方法仍為變量分離法，先分離x得,即；再分離m得的最小值

試題解析：（1）函數的定義域為,當時,, 解得(舍去),, 在上遞減, 在上遞增, 所以的極小值為.

（2）,令可得.

①當時, 由可得在上單調遞減, 由可得在上單調遞增.

②當時, 由可得在上單調遞減, 由可得得在和上單調遞增.

③當時, 由可得在上單調遞增.

④當時, 由可得在上單調遞減, 由可得得在和上單調遞增.

（3）由題意可知, 對時, 恒有成立, 等價于,

由（2）知, 當時, 在上單調遞增,, 所以原題等價于時, 恒有成立, 即.在時, 由,故當時,

恒成立,.