Question

【題目】已知函數的周期為，圖象的一個對稱中心為.將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)，再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象．

（1）求函數與的解析式；

（2）（理）求證：存在，使得，，能按照某種順序成等差數列．

（3）（文）定義：當函數取得最值時，函數圖像上對應的點稱為函數的最值點，如果函數的圖像上至少有一個最大值點和一個最小值點在圓的內部或圓周上，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， （2）證明見解析 （3）

【解析】

（1）先根據周期得再根據對稱中心得，最后根據圖象變換規律得結果；

（2）先確定大小關系，再根據等差中項性質得方程，最后利用零點存在定理證明方程有解；

（3）先求函數最值點坐標，再確定與原點距離最近的最大值和最小值點坐標，代入解不等式得結果.

解：(1)、由函數的周期為，，得,

又曲線的一個對稱中心為，，

故，得，所以

將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)后可得的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，所以

(2)、（理）當時，，，

所以

問題轉化為方程在內是否有解．

設，

，，

且函數的圖象連續不斷，故可知函數在內存在零點

（3）（文）函數當時取得最大值或最小值，當，即與原點距離最近的最大值和最小值點分別是點和，于是有，所以的取值范圍是