Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-b，g(x)=3a2lnx-2ax(其中a＞0)的圖象有公共點，且在該點處的切線相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）

Answer 1

分析：（I）設(shè)出函數(shù)的公共點，對兩個函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)兩個函數(shù)在這個點上的切線相同，得到兩個關(guān)系式，整理變化出b的函數(shù)式，求出最大值．
（II）構(gòu)造新函數(shù)，對兩個函數(shù)做差，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)在正數(shù)范圍上的單調(diào)性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式．

解答：解：（I）設(shè)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有公共點（x₀，y₀）
又f′(x)=x，g′(x)=

3a2

x

-2a
由題意：

1 2 x 0 2 -b=3a2lnx0-2ax0，① x0= 3a2 x0 -2a，②

由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得
設(shè)h(a)=

5

2

a2-3a2lna?h′(a)=2a(1-3lna)
考慮到a＞0，由h′(a)＞0?0＜a＜e

1

3

，由h′(a)＜0?a＞e

1

3

∴h(a)在(0，e

1

3

]上單調(diào)遞增，在[e

1

3

，+∞)上單調(diào)遞減，
故a=e

1

3

時，h(a)即b取得最大值

3

2

e

2

3

．
（II）設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)
F′(x)=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)
∴F（x）在（0，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x₀）-g（x₀）=0，
即f（x）≥g（x）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求最值的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)，得到要求的結(jié)論，注意本題的運算不要出錯．