Question

設C₁、C₂、…、C_n、…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線y＝x相切，對每一個正整數n，圓C_n都與圓C_n＋1相互外切，以r_n表示C_n的半徑，已知{r_n}為遞增數列．

(1)證明：{r_n}為等比數列；
(2)設r₁＝1，求數列的前n項和.

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：將直線y＝x的傾斜角記為θ，則有tanθ＝，sinθ＝.
設C_n的圓心為(λ_n，0)，則由題意得＝，得λ_n＝2r_n；同理λ_n＋1＝2r_n＋1，從而λ_n＋1＝λ_n＋r_n＋r_n＋1＝2r_n＋1，將λ_n＝2r_n代入，解得r_n＋1＝3r_n，故{r_n}為公比q＝3的等比數列．
(2)解：由于r_n＝1，q＝3，故r_n＝3^n－1，從而＝n×3^1－n，
記S_n＝＋＋…＋，則有S_n＝1＋2×3^－1＋3×3^－2＋…＋n×3^1－n，①
＝1×3^－1＋2×3^－2＋…＋(n－1)×3^1－n＋n×3^－n，②
①－②，得＝1＋3^－1＋3^－2＋…＋3^1－n－n×3^－n＝－n×3^－n＝×3^－n，
∴S_n＝×3^1－n＝.